سال ۱۹۰۰ ، ریاضیات با مجموعه‌ای از معضلات نظری و تناقضاتی روبرو می‌شود که سازگاری تئوری بنیادی آن یعنی نظریه مجموعه‌ها را تهدید می‌کردند. وقوع یک تناقض به این معنی بود که با افسانه‌ها، هیچ تفاوتی ندارد. بیشتر این که اگر یک تناقض در ریاضیات به وقوع بپیوندد هر آنچه بخواهیم را می‌توانیم در آن اثبات کنیم. حتی یک حکم و نقیض آن را!
در این دوره، راسل کسی بود که دانشمندان را از بهشت ریاضی کانتور، یعنی تئوری که قرار بود تمام ریاضیات در آن صورت بندی شود، بیرون انداخت؛ او به ریاضی دانان نشان داد که نظریه مجموعه‌ها ناسازگار است. هیلبرت ریاضی دان نامی آن دوران، تلاش می‌کرد که ما را بهه بهشت ریاضی برگرداند. حساب برهان و تناهی گروی پروژه‌هایی بودند که وی برای برون‌شوی از این مساله تدارک دیده بود. تمام پروژه هیلبرت نیازمند یک ایده بود: نشان دادن این که ریاضیات بواقع سازگار است. در این نقطه قضیه دوم ناتمامیت گودل نشان داد که ما دیگر به بهشت کانتور بر نخواهیم گشت: اثبات سازگاری ریاضیات، در فرض سازگاری آن، ممکن نیست.

قضیه دوم ناتمامیت گودل، یک بار و برای همیشه نشان داد که ریاضیات دیگر در آن موقعیت برج عاجی که می‌گفتند نیست. قضیه ناتمامیت گودل از سویی نشان داد که پروژه تناهی گروی هیلبرت صحیح باطل است و از سوی دیگر نشان داد که ریاضیات چگونه می‌تواند از خود آگاهیی پیدا کند. بسیاری این قضیه را مهم ترین دست یافت نیمه اول قرن بیستم و یکی از بزرگترین دستاوردهای منطق از دوره ارسطو می‌دانند. این اثبات نشان دهنده خودآگاهی ریاضیات به خویشتن است. مثل این که ریاضیات به خویشتن می‌نگرد و چیزی می‌بیند که با انتظارات دانشمندان فاصله زیادی داشت.
این قضیه در دست دانشمندان مختلف سرنوشت عجیبی داشته است. فیلسوفان، فیزیک‌دانان و غیره هر کدام از این قضیه تفاسیری ارائه کرده اند و البته عجیب نیست اگر برخی از آنها را خودِ گودل می‌دید و تعجب می کرد. اما همه اینها از اهمیت قضیه‌ای سخن می‌گویند که کولیوان تلاش می‌کند ایده‌های اولیه و کلی آن را در این سخنرانی بیان کند.